数学ガール

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• 3 次方程式の解の公式
  • L, R がすごいらしい（ラグランジュ・リゾルベントっていうらしい）
  • 頑張って二次方程式の解の公式を使っていた

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• 拡大次数
  • [Q(√2) : Q] = Q(√2) / Q の拡大次数
  • 拡大次数の積の定理 [Q(√2, √3) : Q] = [Q(√2) : Q] * [Q(√2)(√3) : Q(√2)] = 2 * 2 = 4
  • 最小多項式
  • 作図可能数と拡大次数
    • αを作図可能数としたとき，[Q(α)/Q] = 2^n
  • 最小分解体
    • 方程式が一次式の積に分解できるような最小の体
  • 正規拡大
    • 拡大体に含まれる任意の数について，その最小多項式が１次式の積に因数分解する

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• 剰余類
  • 部分群を作用させてできる集合たち
• 正規部分群
  • 群 G の部分群 H について，剰余類 G/H = H＼G のとき H を正規部分群
  • 正規部分群だと剰余類が群になる！
• 正規部分群の連鎖による分解

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• 可約と既約
  • f(x) が体 K で因数分解できるとき，f(x)はK上で可約
  • 可約でないとき，既約
• 補題 1
  • ある多項式があって，既約多項式と共通の根をもつなら，それで割れる
• 補題 2
  • 根の順列を変えると値を変える関数 V=φ(a_1, a_2, ..., a_n) が必ず構成できる
• 補題 3
  • 根 a_i は全て V でかける，a_i = φ_i(V)
  • すなわち，K(a_1, ..., a_n) = K(V) ←添加体
  • K(V) は f(x) の最小分解体だ！
• 補題 4
  • V を根とする最小多項式f_V(x)の任意の根 V_k について
  • {φ_i(V_k)} は f(x) の根！！すご
• 定理 1
  • 方程式のガロア群というのがあって，不変ならば既知 && 既知ならば不変
  • ガロア群は補題4でつくれる置換の群
• 定理 2
  • 補助方程式のひとつの根を追加すると体は拡大し，それに対応して，方程式のガロア群は部分群に縮小する
• 定理 3
  • 補助方程式のすべての根を追加するとタイは正規拡大し，それに対応して，方程式のガロア群は正規部分群に縮小する
• 定理 4
  • なんか添加したガロア群は，添加した値を不変にする置換のみ
• 定理 5
  • 方程式が代数的に解ける ⇔ 方程式のガロア群が可解軍である
  • 可解群 ＝ 群を単位群まで正規部分群にしていくとき，剰余群の位数が常に素数

ミルカさんの喋り方は本当にやばい